十年高考题分类整理(2010-2019)数学
主题01合集
1、(2019·国1·原理t1)已知集合m={x|-4×2},n={x|x2-x-60},则mn=()
a.{x|-4×3} b.{x|-4x-2}c.{x|-2×2} d.{x|2×3}
【答案】c
【分析】根据题意,n={x|-2×3},则mn={x|-2×2},故选c。
2. (2019·全国1·课文2)已知集合u={1,2,3,4,5,6,7},a={2,3,4,5},b={2,3 ,6,7},则bua=()
a.{1,6} b.{1,7}c.{6,7} d.{1,6,7}
【答案】c
【分析】可知,ua={1,6,7},bua={6,7}。因此,选择c。
3.(2019·全国2·t1讲)假设集合a={x|x2-5x 60},b={x|x-10},则ab=()
a.(-,1) b.(-2,1)c.(-3,-1) d.(3, )
【答案】a
【分析】根据题意,a={x|x2,或者x3},b={x|x1},所以ab={x|x1},所以选a。
4. (2019·国2·课文1)已知集合a={x|x-1}, b={x|x2},则ab=()
a.(-1, ) b.(-,2)c.(-1,2) d.
【答案】c
【分析】从题意可知ab=(-1,2),故选c。
5、(2019•全国3•t1)已知集合a={-1,0,1,2},b={x|x21},则ab=()
a.{-1,0,1} b.{0,1}c.{-1,1} d.{0,1,2}
【答案】a
【分析】a={-1,0,1,2},b={x|-1×1},则ab={-1,0,1}。因此,选择a。
6.(2019•北京•t1篇)已知集合a={x|-1×2},b={x|x1},则ab=()
a.(-1,1) b.(1,2)c.(-1, 无穷大) d.(1, 无穷大)
【答案】c
【分析】a={x|-1×2},b={x|x1},ab=(-1, ),故选c。
7. (2019•天津•t1) 假设集合a={-1,1,2,3,5}, b={2,3,4}, c={xr|1×3},则(ac)b=()
a.{2} b.{2,3}c.{-1,2,3} d.{1,2,3,4}
【答案】d
【分析】ac={1,2},(ac)b={1,2,3,4},故选d。
8. (2019•浙江•t1)已知完全集合u={-1,0,1,2,3},集合a={0,1,2},b={-1,0 ,1},则(ua)b=()
a.{-1} b.{0,1}c.{-1,2,3} d.{-1,0,1,3}
【答案】a
【分析】ua={-1,3},则(ua)b={-1}。
9. (2018•国1•原理t2)已知集合a={x|x2-x-20},则ra=()
a.{x|-1×2} b.{x|-1×2}
c.{x|x-1}{x|x2} d.{x|x-1}{x|x2}
【答案】b
【分析】a={x|x-1或x2},故ra={x|-1×2}。
10. (2018·全国1·课文1)已知集合a={0,2},b={-2,-1,0,1,2},则ab=()
a.{0,2} b.{1,2}c.{0} d.{-2,-1,0,1,2}
【答案】a
【分析】由交集的定义可知ab={0,2}。
11. (2018•国2•文2,)已知集合a={1,3,5,7},b={2,3,4,5},则ab=()
a.{3} b.{5}c.{3,5} d.{1,2,3,4,5,7}
【答案】c
【分析】集合a和b的公共元素为3,5,故ab={3,5}。
12. (2018•全国3•t1)已知集合a={x|x-10},b={0,1,2},则ab=()
a.{0} b.{1}c.{1,2} d.{0,1,2}
【答案】c
【分析】根据题意,a={x|x1},b={0,1,2},ab={1,2}。
13. (2018•北京•t1)已知集合a={x||x|2}, b={-2,0,1,2},则ab=()
a.{0,1} b.{-1,0,1}
c.{-2,0,1,2} d.{-1,0,1,2}
【答案】a
【分析】a={x|-2×2},b={-2,0,1,2},ab={0,1}。
14. (2018•天津•李t1)设完全集合为r,集合a={x|0x2},b={x|x1},则a(rb)=()
a.{x|0x1} b.{x|0x1}c.{x|1×2} d.{x|0x2}
【答案】b
【分析】rb={x|x1},a(rb)={x|0x1}。所以选b。
15.(2018·天津·t1篇)假设集合a={1,2,3,4},b={-1,0,2,3},c={xr|-1×2} ,则(ab)c=()
a.{-1,1} b.{0,1}
c.{-1,0,1} d.{2,3,4}
【答案】c
【分析】ab={-1,0,1,2,3,4}。且c={xr|-1×2},(ab)c={-1,0 ,1}。
16. (2018•浙江•t1)已知全集u={1,2,3,4,5},a={1,3},则ua=()
a. b.{1,3}c.{2,4,5} d.{1,2,3,4,5}
【答案】c
【分析】a={1,3},u={1,2,3,4,5},ua={2,4,5},故选c。
17. (2018•national 2•li t2,) 已知集合a={(x,y)|x2 y23,xz,yz},则a中元素个数为()
a.9 b.8 c.5 d.4
【答案】a
【分析】满足条件的元素有(-1,-1)、(-1,0)、(-1,1)、(0,1)、(0,0)、(0,-1) , ( 1,-1),(1,0),(1,1), 共9 个。
18.(2017·国三·原理t1,)已知集合a={(x,y)|x2 y2=1},b={(x,y)|y=x},则a b 元素个数为
a.3 b.2 c.1 d.0
【答案】b
【分析】a表示圆x2 y2=1上所有点的集合,b表示直线y=x上所有点的集合。容易知道圆x2 y2=1与直线y=x相交,所以ab有2个元素。
19. (2017•全国1•讲t1)已知集合a={x|x1},b={x|3×1},则()
a.ab={x|x0} b.ab=r
c.ab={x|x1} d.ab=
【答案】a
【分析】3×1=30,×0,b={x|x0},ab={x|x0},ab={x|x1}。因此,选择a。
20. (2017•全国2•讲座t2) 假设集合a={1,2,4},b={x|x2-4x m=0}。若ab={1},则b=( )
a.{1,-3} b.{1,0} c.{1,3} d.{1,5}
【答案】c
【分析】由ab={1}可知1b,故m=3,即b={1,3}。
21、(2017•国1•课1)已知集合a={x|x2},b={x|3-2×0},则()
a.ab=
b.ab=
c.ab=
d.ab=r
【答案】a
【分析】a={x|x2},b=,ab={x|x2},ab=,故选a。
22. (2017•全国2•课文1) 假设集合a={1,2,3}, b={2,3,4},则ab=()
a.{1,2,3,4} b.{1,2,3} c.{2,3,4} d.{1,3,4}
【答案】a
【分析】因为a={1,2,3},b={2,3,4},所以ab={1,2,3,4},所以选a。
23、(2017•国3•课文1)已知集合a={1,2,3,4},b={2,4,6,8},则ab中的元素个数是()
a.1 b.2 c.3 d.4
【答案】b
【分析】从题意可知ab={2,4},则ab中有2个元素。因此,选择b。
24. (2017•天津•李t1) 假设集合a={1,2,6},b={2,4},c={xr|-1×5},则(a b )c=()
a.{2} b.{1,2,4} c.{1,2,4,6} d.{xr|-1×5}
【答案】b
【分析】a={1,2,6},b={2,4},ab={1,2,4,6}.c={xr|-1x 5},(ab)c={1,2,4}。
25. (2017•北京•李t1)若集合a={x|-2×1}, b={x|x-1或x3},则ab=()
a.{x|-2x-1} b.{x|-2×3}
c.{x|-1×1} d.{x|1×3}
【答案】a
【分析】ab={x|-2x-1},故选a。
26.(2017•北京•t1条)已知完全集合u=r,集合a={x|x-2或x2},则ua=()
a.(-2,2) b.(-无穷大,-2)(2, 无穷大)
c.[-2,2] d.(-无穷大,-2][2, 无穷大)
【答案】c
【分析】因为a={x|x-2或x2},所以ua={x|-2×2}。
27. (2016•国家1•原理t1) 假设集合a={x|x2-4x 30}, b={x|2x-30},则ab=()
a.b.
光盘。
【答案】d
【分析】a=(1,3),b=,故ab=,故选d。
28. (2016•全国2•讲座t2) 已知集合a={1,2,3},b={x|(x 1)(x-2)0,xz},则ab=()
a.{1} b.{1,2}
c.{0,1,2,3} d.{-1,0,1,2,3}
【答案】c
【分析】从题意可以看出b={x|-1×2,xz}={0,1},而a={1,2,3},所以ab={ 0,1,2,3},故选c。
29. (2016•国三•原理t1)假设集合s={x|(x-2)•(x-3)0},t={x|x0},则st=()
a.[2,3]
b.(-无穷大,2][3, 无穷大)
c.[3, )
d.(0,2][3, )
【答案】d
【分析】s={x|x2或x3}。因为t={x|x0},所以st={x|0x2或x3},所以选d。
30. (2016•全国1•课文1) 假设集合a={1,3,5,7}, b={x|2×5},则ab=()
a.{1,3} b.{3,5}c.{5,7} d.{1,7}
【答案】b
【分析】ab={3,5},故选b。
31.(2016•国2•t1条)已知集合a={1,2,3},b={x|x29},则ab=()
a.{-2,-1,0,1,2,3} b.{-2,-1,0,1,2}
c.{1,2,3} d.{1,2}
【答案】d
【分析】b={x|-3×3},ab={1,2}。所以选d。
32. (2016•全国3•课文1) 假设集合a={0,2,4,6,8,10}, b={4,8},则ab=()
答:{4,8}
b.{0,2,6}
c.{0,2,6,10}
d.{0,2,4,6,8,10}
【答案】c
【分析】根据补集的定义,集合a={0,2,4,6,8,10}中去掉集合b中的元素4和8后,剩下4个元素0,2,6,组成的集合10的值为ab,即ab={0,2,6,10},故选c。
33. (2016·四川·李t1)假设集合a={x|-2×2},z是整数集合,则集合az的元素个数为()
a.3 b.4c.5 d.6
【答案】c
【分析】根据题意,az={-2,-1,0,1,2},故元素个数为5,选c。
34. (2016•天津•李t1)已知集合a={1,2,3,4}, b={y|y=3x-2,xa},则ab=( )
a.{1} b.{4} c.{1,3} d.{1,4}
【答案】d
【分析】由题可知,集合b={1,4,7,10},则ab={1,4}。因此,选d。
35. (2016•山东•李t2)假设集合a={y|y=2x,xr},b={x|x2-10},则ab=()
a.(-1,1) b.(0,1) c.(-1, 无穷大) d.(0, 无穷大)
【答案】c
【分析】a={y|y0},b={x|-1×1},则ab={x|x-1},选c。
36. (2016•浙江•李t1)已知集合p={xr|1×3},q={xr|x24},则p(rq)=()
a.[2,3] b.(-2,3]
c.[1,2) d.(-无穷大,-2][1, 无穷大)
【答案】b
【分析】q={xr|x-2,或x2},rq={xr|-2×2}.p(rq)={xr|-2x 3}=(-2,3]。故选b。
37. (2015·全国2·t1讲) 已知集合a={-2,-1,0,1,2}, b={x|(x-1)(x 2)0} ,则a b=()
a.{-1,0} b.{0,1}
c.{-1,0,1} d.{0,1,2}
【答案】a
【分析】b={x|-2×1},ab={-1,0}。
38、(2015·国1·t1条)已知集合a={x|x=3n 2,nn},b={6,8,10,12,14},则集合ab 元素个数为()
a.5 b.4 c.3 d.2
【答案】d
【分析】由条件可知,当n=2时,3n 2=8,当n=4时,3n 2=14。所以ab={8,14}。因此,选d。
39. (2015·国2·课文1)已知集合a={x|-1×2},b={x|0x3},则ab=()
a.(-1,3) b.(-1,0) c.(0,2) d.(2,3)
【答案】a
【分析】从题意可知ab={x|-1×3},即ab=(-1,3)。
40. (2015•陕西•text1)假设集合m={x|x2=x}, n={x|lg x0},则mn=()
a.[0,1] b.(0,1] c.[0,1) d.(-,1]
【答案】a
【分析】m={0,1},n={x|0x1},mn={x|0x1},即[0,1]。
41. (2015•重庆•李t1,)已知集合a={1,2,3},b={2,3},则()
a.a=b b.ab=c.ab d.ba
【答案】d
【分析】因为a={1,2,3},b={2,3},所以ba。
42.(2014•全国1•讲座t1)已知集合a={x|x2-2x-30},b={x|-2×2},则ab=()
a.[-2,-1] b.[-1,2) c.[-1,1] d.[1,2)
【答案】a
【分析】由已知,可得a={x|x3或x-1},则ab={x|-2x-1}=[-2,-1] 。故选a。
43. (2014•国2•原理t1)假设集合m={0,1,2}, n={x|x2-3x 20},则mn=()
a.{1} b.{2} c.{0,1} d.{1,2}
【答案】d
【分析】n={x|x2-3x 20}={x|1×2},mn={0,1,2}{x|1×2}={1,2}。故选d。
44.(2014•国1•t1条)已知集合m={x|-1×3},n={x|-2×1},则mn=()
a.(-2,1) b.(-1,1)c.(1,3) d.(-2,3)
【答案】b
【分析】已知mn={x|-1×1}=(-1,1),故选b。
45、(2014•国2•t1条)已知集合a={-2,0,2},b={x|x2-x-2=0},则ab=()
a. b.{2} c.{0} d.{-2}
【答案】b
【分析】易得b={-1,2},则ab={2},故选b。
46.(2014•辽宁•李t1)已知完全集合u=r,a={x|x0},b={x|x1},则集合u(a b)=()
a.{x|x0}
b.{x|x1}
c.{x|0x1}
d.{x|0x1}
【答案】d
【分析】ab={x|x0或x1},u(ab)={x|0x1}。因此,选d。
47. (2013•国2•原理t1)已知集合m={x|(x-1)24,xr},n={-1,0,1,2,3},则mn=()
a.{0,1,2} b.{-1,0,1,2}c.{-1,0,2,3} d.{0,1,2,3}
【答案】a
【分析】m={x|-1×3},n={-1,0,1,2,3},故mn={0,1,2},故选a。
48.(2013·国1·t1条)已知集合a={1,2,3,4},b={x|x=n2,na},则ab=()
a.{1,4} b.{2,3}c.{9,16} d.{1,2}
【答案】a
【分析】b={1,4,9,16},ab={1,4}。
49. (2013•国2•文1)已知集合m={x|-3×1}, n={-3,-2,-1,0,1},则mn=()
a.{-2,-1,0,1} b.{-3,-2,-1,0}c.{-2,-1,0} d.{-3,-2,-1}
【答案】c
【分析】从题意可知mn={-2,-1,0}。因此,选择c。
50. (2013•上海•李t15) 假设常数ar,设a={x|(x-1)(x-a)0},b={x|xa-1}。若ab=r,则a的取值范围为()
a.(-无穷大,2) b.(-无穷大,2] c.(2, 无穷大) d.[2, 无穷大)
【答案】b
【分析】当a1时,集合a={x|x1或xa},由ab=r可知a-11,即a2。因此,1a2。
当a=1时,集合a=r,显然ab=r。因此a=1满足题意。
当a1时,集合a={x|x1或xa},由ab=r可知a-1a显然成立,故a1。
综上可知,a的取值范围为a2。因此,选择b。
51. (2013•广东•李t8)假设整数n4,集合x={1,2,3,…,n},令集合s={(x,y,z)|x,y ,zx,且三个条件xyz、yzx、zxy 恰好之一为真}。如果(x,y,z)和(z,w,x)都在s中,则下列选项正确的是()
a.(y,z,w)s,(x,y,w)s
b.(y,z,w)s,(x,y,w)s
c.(y,z,w)s,(x,y,w)s
d.(y,z,w)s,(x,y,w)s
【答案】b
【分析】由(x,y,z)s,不妨取xyz,
令(z,w,x)s,则wxz或xzw。
当wxz,wxyz,
因此(y, z, w) s, (x, y, w) s。
当xzw, xyzw, 所以(y, z, w) s, (x, y, w) s.
综上可知,(y,z,w) s,(x,y,w) s。
52. (2013·山东·李2,t5)已知集合a={0,1,2},则集合b={x-y|xa,ya}的元素个数为()
a.1 b.3 c.5 d.9
【答案】c
【分析】当x和y取相同数时,x-y=0;当x=0,y=1,x-y=-1时;当x=0,y=2,x-y=-2时;当x=1时,y=0,x-y=1;当x=2,y=0,x-y=2时;其他的都是重复的。因此,集合b中有0,-1,-2,1,2,共5个元素。应选c。
53. (2013•江西•text2)如果集合中只有一个元素a={xr|ax2 ax 1=0},则a=()
a.4 b.2 c.0 d.0 或4
【答案】a
【分析】当a=0时,这显然不成立;当a0时,需要=a2-4a=0,a=4。因此,选择a。
54.(2013•国1•原理1)已知集合a={x|x2-2×0},b={x|x},则()
a.ab= b.ab=rc.ba d.ab
【答案】b
【分析】设a={x|x0或x2},
从图中可以看出,ab=r,故选择b。
55.(2012•国家课程标准•原理t1)已知集合a={1,2,3,4,5},b={(x,y)|xa,ya,x-y a} ,则b 包含的元素个数为()
a.3 b.6
c.8 d.10
【答案】d
【分析】由xa,ya,x-ya可得(x,y)如下:(2,1),(3,1),(4,1),(5,1) ,( 3,2),(4,2),(5,2),(4,3),(5,3),(5,4),所以集合b包含的元素个数为10。
56. (2012•纲要•原理2)已知集合a={1,3,},b={1,m},ab=a,则m=()
a.0 或b.0 或3 c.1 或d.1 或3
【答案】b
【分析】ab=a,ba,
m=3 或m=.m=3 或m=0 或m=1。
当m=1时,与集合中元素的相互性不一致,故选择b。
57.(2012•国家•第1条)已知集合a={x|x2-x-20},b={x|-1×1},则()
a.ab b.bac.a=b d.ab=
【答案】b
【分析】从题意可知a={x|-1×2},b={x|-1×1},故ba。
58. (2012·国家大纲·文本t1,)已知集合a={x|x是平行四边形},b={x|x是矩形},c={x|x是正方形} ,d={x |x 是菱形},则()
a.ab b.cbc.dc d.ad
【答案】b
【分析】正方形组成的集合是矩形组成的集合cb的子集。
59.(2012·湖北·t1篇)已知集合a={x|x2-3x 2=0,xr},b={x|0x5,xn},则条件a c 满足b 中集合c 的个数为()
a.1 b.2 c.3 d.4
【答案】d
【分析】a={1,2},b={1,2,3,4}。又acb,c={1,2}或{1,2,3}或{1 ,2,4}或{1,2,3,4},所以选d。
60. (2011•国家•第1条) 已知集合m={0,1,2,3,4}, n={1,3,5}, p=mn,则其子集p 共有( )
a.2 b.4 c.6 d.8
【答案】b
【分析】p=mn={1,3},p有22=4个子集。
61. (2011•辽宁•李t2)已知m和n是集合i的非空真子集,并且m和n不相等。如果n(im)=,则mn=()
a.m b.n c.i d.
【回答
案】a
【解析】作出满足条件的韦恩(venn)图,易知m∪n=m.
62.(2011•广东•理t8)设s是整数集z的非空子集,如果∀a,b∈s,有ab∈s,则称s关于数的乘法是封闭的.若t,v是z的两个不相交的非空子集,t∪v=z,且∀a,b,c∈t,有abc∈t;∀x,y,z∈v,有xyz∈v,则下列结论恒成立的是( )
a.t,v中至少有一个关于乘法是封闭的
b.t,v中至多有一个关于乘法是封闭的
c.t,v中有且只有一个关于乘法是封闭的
d.t,v中每一个关于乘法都是封闭的
【答案】a
【解析】令t=n,v=∁zn,则t对乘法封闭,而v对乘法不封闭排除d.
令t={-1,0,1},v=∁zt,则t,v都对乘法封闭,排除b,c.故选a.
63.(2011•福建•文t12)在整数集z中,被5除所得余数为k的所有整数组成一个\”类\”,记为[k],即[k]={5n k|n∈z},k=0,1,2,3,4.给出如下四个结论:
①2 011∈[1];
②-3∈[3];
③z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4];
④\”整数a,b属于同一\’类\’\”的充要条件是\”a-b∈[0]\”.
其中,正确结论的个数是( )
a.1 b.2 c.3 d.4
【答案】c
【解析】对于①:2 011=5×402 1,∴2 011∈[1].对于②:-3=5×(-1) 2,∴-3∈[2],故②不正确;对于③:∵任意一个整数z被5除,所得余数共分为五类,∴z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4],故③正确;对于④:若整数a,b属于同一类,则a=5n1 k,b=5n2 k,∴a-b=5n1 k-5n2-k=5(n1-n2)=5n,∴a-b∈[0],若a-b∈[0],则a-b=5n,即a=b 5n,故a与b被5除的余数为同一个数,∴a与b属于同一类,所以\”整数a,b属于同一类\”的充要条件是\”a-b∈[0]\”,故④正确.∴正确结论的个数是3.
64.(2011•福建•理t1)i是虚数单位,若集合s={-1,0,1},则( )
a.i∈s
b.i2∈s
c.i3∈s
d.∈s
【答案】b
【解析】∵i2=-1,而集合s={-1,0,1},∴i2∈s.
65.(2010•浙江•理t1)设p={x|x<4},q={x|x2<4},则( )
a.p⊆q b.q⊆p c.p⊆∁rq d.q⊆∁rp
【答案】b
【解析】p={x|x<4},q={x|-2
66.(2010•天津•理t9)设集合a={x||x-a|<1,x∈r},b={x||x-b|>2,x∈r}.若a⊆b,则实数a,b必满足( )
a.|a b|≤3 b.|a b|≥3c.|a-b|≤3 d.|a-b|≥3
【答案】d
【解析】a={x|a-1
67.(2010•全国•t1)已知集合a={x||x|≤2,x∈r},b={x|≤4,x∈z},则a∩b等于( )
a.(0,2) b.[0,2]c.{0,2} d.{0,1,2}
【答案】d
【解析】∵a={x|-2≤x≤2},b={0,1,2,3,…,16},
∴a∩b={0,1,2}.
68.(2018•江苏•t1)已知集合a={0,1,2,8},b={-1,1,6,8},那么a∩b= .
【答案】{1,8}
【解析】由题设和交集的定义可知,a∩b={1,8}.
69.(2017•江苏•t1)已知集合a={1,2},b={a,a2 3}.若a∩b={1},则实数a的值为 .
【答案】1
【解析】由已知得1∈b,2∉b,显然a2 3≥3,所以a=1,此时a2 3=4,满足题意,故答案为1.
70.(2013•湖南,文t15)对于e={a1,a2,…,a100}的子集x={,…,},定义x的\”特征数列\”为x1,x2,…,x100,其中=…==1,其余项均为0.例如:子集{a2,a3}的\”特征数列\”为0,1,1,0,0,…,0.
(1)子集{a1,a3,a5}的\”特征数列\”的前3项和等于 ;
(2)若e的子集p的\”特征数列\”p1,p2,…,p100满足p1=1,pi pi 1=1,1≤i≤99;e的子集q的\”特征数列\”q1,q2,…,q100满足q1=1,qj qj 1 qj 2=1,1≤j≤98,则p∩q的元素个数为 .
【答案】(1)2 (2)17
【解析】(1){a1,a3,a5}的特征数列为1,0,1,0,1,0,…,0,∴前3项和为2.
(2)根据题意知,p的特征数列为1,0,1,0,1,0,…,
则p={a1,a3,a5,…,a99}有50个元素,q的特征数列为1,0,0,1,0,0,1,…,
则q={a1,a4,a7,a10,…,a100}有34个元素,
∴p∩q={a1,a7,a13,…,a97},共有1 =17个.
71.(2013•江苏•t4)集合{-1,0,1}共有 个子集.
【答案】8
【解析】由于集合{-1,0,1}有3个元素,故其子集个数为23=8.
72.(2012•天津•文t9,)集合a= 中的最小整数为 .
【答案】-3
【解析】∵|x-2|≤5,∴-3≤x≤7,∴最小整数为-3.
73.(2018•北京•理t20)设n为正整数,集合a={α|α=(t1,t2,…,tn),tk∈{0,1},k=1,2,…,n}.对于集合a中的任意元素α=(x1,x2,…,xn)和β=(y1,y2,…,yn),记m(α,β)=[(x1 y1-|x1-y1|) (x2 y2-|x2-y2|) … (xn yn-|xn-yn|)].
(1)当n=3时,若α=(1,1,0),β=(0,1,1),求m(α,α)和m(α,β)的值;
(2)当n=4时,设b是a的子集,且满足:对于b中的任意元素α,β,当α,β相同时,m(α,β)是奇数;当α,β不同时,m(α,β)是偶数.求集合b中元素个数的最大值;
(3)给定不小于2的n,设b是a的子集,且满足:对于b中的任意两个不同的元素α,β,m(α,β)=0.写出一个集合b,使其元素个数最多,并说明理由.
【答案】(1)2 1 (2)4 (3)n 1
【解析】(1)m(α,α)=[(1 1-|1-1|) (1 1-|1-1|) (0 0-|0-0|)]=2;
m(α,β)=[(1 0-|1-0|) (1 1-|1-1|) (0 1-|0-1|)]=1.
(2)当xm,ym同为1时,(xm ym-|xm-ym|)=1;
当xm,ym中只有一个1或者两个都是0时,(xm ym-|xm-ym|)=0;
当α,β相同时,∀α=(x1,x2,x3,x4)∈b,m(α,α)=x1 x2 x3 x4为奇数,
则xk(k=1,2,3,4)中有一个1或者三个1,即为以下8种:
形式1:(1,0,0,0) (0,1,0,0) (0,0,1,0) (0,0,0,1);
形式2:(1,1,1,0) (1,1,0,1) (1,0,1,1) (0,1,1,1);
当α,β不同时,m(α,β)是偶数,则α,β同为1的位置有4个或2个或0个;
形式1中的元素不能和形式2的三个元素同时共存;
形式2中的元素不能和形式1的三个元素同时共存;
如果b中元素全是形式1,当α,β不同时,m(α,β)=0满足条件;
如果b中元素全是形式2,当α,β不同时,m(α,β)=2满足条件.
所以b中元素至多为4个.
(3)b中元素个数最多为n 1,构造如下:
对于γk=(zk1,zk2,…,zkn)∈b(k=1,2,3,…,n),zkk=1,其他位置全为0;
γn 1=(0,0,0,…,0),可以验证m(γi,γj)=0(i,j=1,2,…,n 1)且i≠j,
下面证明:当b中元素个数大于等于n 2时,总存在α,β∈b,m(α,β)≠0.
设γk=(zk1,zk2,zk3,…,zkn)∈b,k=1,2,3,…,n 1,…,m(m≥n 2);
sk=zk1 zk2 … zkn(k=1,2,3,…,n),可以得到:
s1 s2 … sm≥0 1×n 2=n 2;
设ck=z1k z2k … zmk(k=1,2,3,…,n),可以得到:
c1 c2 … cn=s1 s2 … sm≥n 2,所以存在ct≥2,t∈{1,2,3,…,n},
即存在α,β∈b(α≠β),使得α,β在同一个位置同为1,即m(α,β)≥1≠0,矛盾.
所以,b中元素个数最多为n 1.
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